(in Polish) Arytmetyka i algebra z elementami dydaktyki (sem. 1)

Cele przedmiotu: Przedstawienie podstawowych pojęć algebraicznych niezbędnych przy wykonywaniu obliczeń oraz rozwiązywaniu zadań z treścią. Pojęcia zbioru, iloczynu kartezjańskiego, relacji równoważności oraz ciała liczbowego umożliwiają przedstawienie liczb kolejno - od liczb naturalnych do liczb rzeczywistych.

Działania algebraiczne na liczbach całkowitych oraz ich właściwości stanowią podstawę arytmetyki. Liczby ujemne, ułamki oraz proporcje są przydatne przy rozwiązywaniu zadań z treścią. Liczby pierwsze, rozkład liczb naturalnych na czynniki pierwsze oraz kryteria podzielności są przydatne przy wykonywaniu działań na ułamkach.

Odpowiednio dobrane przykłady ilustrują przejście od arytmetyki do algebry.

Postać wektorowa i macierzowa układu równań liniowych, operacje elementarne na macierzach oraz wyznaczniki to fundament metod rozwiązywania układów równań liniowych

Wymagania wstępne: brak

Treści merytoryczne przedmiotu:

1. Zbiory. Relacje porządku i równoważności w zbiorze. Relacja pomiędzy dwoma zbiorami, wykres, funkcja.

2. Oś liczbowa jako uporządkowany zbiór liczb rzeczywistych. Działania i operacje algebraiczne: dodawanie, mnożenie, odejmowanie, dzielenie, pierwiastek, potęga, logarytm. Właściwości i kolejność działań.

3. Od liczb naturalnych do liczb rzeczywistych: liczny naturalne, zero, liczby ujemne, ułamki, liczby wymierne, liczby niewymierne. Różne sposoby zapisu liczb i odpowiednie algorytmy wykonywania działań algebraicznych: - ułamki, liczby dziesiętne, liczby mianowane, procenty.

Systemy liczbowe.

4. Liczby całkowite jako klasy równoważności w zbiorze par liczb

naturalnych. Liczby wymierne jako klasy równoważności w zbiorze par liczb całkowitych. Istota i sens pojęcia różnicy i ilorazu.

5. Algorytm dzielenia liczb całkowitych z resztą. Arytmetyka modulo. Cechy podzielności. Rozwiązywanie równań liniowych w zbiorze liczb całkowitych. Rozwiązywanie kongruencji. Chińskie twierdzenie o resztach.

6. Rozkład liczb naturalnych na czynniki pierwsze. Liczby względnie pierwsze. Największy wspólny dzielnik liczb m,n - NWD(m,n). Algorytm Euklidesa. Twierdzenie Bezout NWD(m,n)= sm+tn. Uogólniony algorytm Euklidesa.

7. Zasada dobrego uporządkowania liczb naturalnych. Zasada indukcji matematycznej. Przykłady dowodów indukcyjnych. Ciągi rekurencyjne.

8. Podstawowe struktury algebraiczne: grupa, pierścień, ciało. Przykłady: zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, zbiory wielomianów, zbiory Zp ( reszty z dzielenia przez p ).

9. Proporcje. Proporcjonalność prosta: wykres funkcji liniowej, ilustracja graficzna, właściwości. Skala. Proporcjonalność odwrotna: ilustracja graficzna, właściwości.

10. Od arytmetyki do algebry. Rozwiązania arytmetyczne i algebraiczne zadań z treścią ( ten sam algorytm obliczeń ). Przykłady.

11. Intuicyjny sens rozwiązania arytmetycznego odpowiadającego algebraicznej metodzie eliminacji kolejnych niewiadomych. Eliminacja jednej z dwóch niewiadomych - domniemane ( wirtualne ) dane. Eliminacja jedynej niewiadomej - domniemana ( wirtualna) odpowiedź z proporcją w tle.

12. Proporcjonalność odwrotna a podział proporcjonalny odcinka. Współrzędne punktu P dzielącego odcinek w stosunku t : s. Stężenie mieszaniny roztworów. Położenie środka masy układu dwóch ciał. Zasada działania dźwigni.

13. Punkty i wektory na płaszczyźnie. Współrzędne kartezjańskie. Działania algebraiczne na wektorach: dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez liczbę - interpretacja geometryczna. Równoległość wektorów a twierdzenie Talesa.

14. Przestrzeń liniowa (wektorowa) i jej struktura. Liniowa zależność (niezależność) wektorów. Baza i wymiar przestrzeni liniowej. Współrzędne wektora w bazie.

15. Macierze. Działania algebraiczne na macierzach. Nieprzemienność mnożenia macierzy. Macierz transponowana. Operacje elementarne na kolumnach lub wierszach macierzy.

16. Wyznacznik macierzy kwadratowej. Właściwości i sposoby obliczania wyznaczników. Metoda Sarrusa. Rozwinięcie Laplace'a. Operacje elementarne na kolumnach lub wierszach macierzy.

17. Zastosowania wyznaczników. Rząd macierzy. Kryterium liniowej niezależności wektorów. Odwracalność macierzy i wyznaczanie macierzy odwrotnej. Objętość równoległościanu, pole powierzchni równoległoboku.

18. Postać wektorowa i macierzowa układu równań liniowych a twierdzenie Kroneckera-Capelliego o istnieniu i liczbie rozwiązań.

19. Postać naturalna, wektorowa i macierzowa układu równań liniowych. Trzy wersje rozwiązywania dowolnego układu równań liniowych metodą eliminacji kolejnych niewiadomych. Metoda przeciwnych współczynników, metoda wektorówortogonalnych

i metoda eliminacji Gaussa.

20. Metody rozwiązywania układów równań liniowych typu Cramera. Wzory Cramera. Metoda macierzy odwrotnej.

1. K.A. Ross, C.R.B. Wright, Matematyka dyskretna. PWN.

2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1, Definicje, twierdzenia, wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław.

3. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1, Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław.

4. K. Jezuita, Zestaw zadań z komentarzami i rozwiązaniami, forma elektroniczna.

5. R. Howe, From Arithmetic to Algebra, www.ime.math.arizona.edu