(in Polish) Arytmetyka i algebra z elementami dydaktyki (sem. 1)
General data
Course ID: | WM-P-PSM-AiAzD1 |
Erasmus code / ISCED: | (unknown) / (unknown) |
Course title: | (unknown) |
Name in Polish: | Arytmetyka i algebra z elementami dydaktyki (sem. 1) |
Organizational unit: | Faculty of Mathematics and Natural Sciences. School of Exact Sciences. |
Course groups: | |
ECTS credit allocation (and other scores): |
(not available)
|
Language: | (unknown) |
Subject level: | elementary |
Learning outcome code/codes: | enter learning outcome code/codes |
Short description: |
(in Polish) Cele przedmiotu: Przedstawienie podstawowych pojęć algebraicznych niezbędnych przy wykonywaniu obliczeń oraz rozwiązywaniu zadań z treścią. Pojęcia zbioru, iloczynu kartezjańskiego, relacji równoważności oraz ciała liczbowego umożliwiają przedstawienie liczb kolejno - od liczb naturalnych do liczb rzeczywistych. Działania algebraiczne na liczbach całkowitych oraz ich właściwości stanowią podstawę arytmetyki. Liczby ujemne, ułamki oraz proporcje są przydatne przy rozwiązywaniu zadań z treścią. Liczby pierwsze, rozkład liczb naturalnych na czynniki pierwsze oraz kryteria podzielności są przydatne przy wykonywaniu działań na ułamkach. Odpowiednio dobrane przykłady ilustrują przejście od arytmetyki do algebry. Postać wektorowa i macierzowa układu równań liniowych, operacje elementarne na macierzach oraz wyznaczniki to fundament metod rozwiązywania układów równań liniowych Wymagania wstępne: brak |
Full description: |
(in Polish) Treści merytoryczne przedmiotu: 1. Zbiory. Relacje porządku i równoważności w zbiorze. Relacja pomiędzy dwoma zbiorami, wykres, funkcja. 2. Oś liczbowa jako uporządkowany zbiór liczb rzeczywistych. Działania i operacje algebraiczne: dodawanie, mnożenie, odejmowanie, dzielenie, pierwiastek, potęga, logarytm. Właściwości i kolejność działań. 3. Od liczb naturalnych do liczb rzeczywistych: liczny naturalne, zero, liczby ujemne, ułamki, liczby wymierne, liczby niewymierne. Różne sposoby zapisu liczb i odpowiednie algorytmy wykonywania działań algebraicznych: - ułamki, liczby dziesiętne, liczby mianowane, procenty. Systemy liczbowe. 4. Liczby całkowite jako klasy równoważności w zbiorze par liczb naturalnych. Liczby wymierne jako klasy równoważności w zbiorze par liczb całkowitych. Istota i sens pojęcia różnicy i ilorazu. 5. Algorytm dzielenia liczb całkowitych z resztą. Arytmetyka modulo. Cechy podzielności. Rozwiązywanie równań liniowych w zbiorze liczb całkowitych. Rozwiązywanie kongruencji. Chińskie twierdzenie o resztach. 6. Rozkład liczb naturalnych na czynniki pierwsze. Liczby względnie pierwsze. Największy wspólny dzielnik liczb m,n - NWD(m,n). Algorytm Euklidesa. Twierdzenie Bezout NWD(m,n)= sm+tn. Uogólniony algorytm Euklidesa. 7. Zasada dobrego uporządkowania liczb naturalnych. Zasada indukcji matematycznej. Przykłady dowodów indukcyjnych. Ciągi rekurencyjne. 8. Podstawowe struktury algebraiczne: grupa, pierścień, ciało. Przykłady: zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, zbiory wielomianów, zbiory Zp ( reszty z dzielenia przez p ). 9. Proporcje. Proporcjonalność prosta: wykres funkcji liniowej, ilustracja graficzna, właściwości. Skala. Proporcjonalność odwrotna: ilustracja graficzna, właściwości. 10. Od arytmetyki do algebry. Rozwiązania arytmetyczne i algebraiczne zadań z treścią ( ten sam algorytm obliczeń ). Przykłady. 11. Intuicyjny sens rozwiązania arytmetycznego odpowiadającego algebraicznej metodzie eliminacji kolejnych niewiadomych. Eliminacja jednej z dwóch niewiadomych - domniemane ( wirtualne ) dane. Eliminacja jedynej niewiadomej - domniemana ( wirtualna) odpowiedź z proporcją w tle. 12. Proporcjonalność odwrotna a podział proporcjonalny odcinka. Współrzędne punktu P dzielącego odcinek w stosunku t : s. Stężenie mieszaniny roztworów. Położenie środka masy układu dwóch ciał. Zasada działania dźwigni. 13. Punkty i wektory na płaszczyźnie. Współrzędne kartezjańskie. Działania algebraiczne na wektorach: dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez liczbę - interpretacja geometryczna. Równoległość wektorów a twierdzenie Talesa. 14. Przestrzeń liniowa (wektorowa) i jej struktura. Liniowa zależność (niezależność) wektorów. Baza i wymiar przestrzeni liniowej. Współrzędne wektora w bazie. 15. Macierze. Działania algebraiczne na macierzach. Nieprzemienność mnożenia macierzy. Macierz transponowana. Operacje elementarne na kolumnach lub wierszach macierzy. 16. Wyznacznik macierzy kwadratowej. Właściwości i sposoby obliczania wyznaczników. Metoda Sarrusa. Rozwinięcie Laplace'a. Operacje elementarne na kolumnach lub wierszach macierzy. 17. Zastosowania wyznaczników. Rząd macierzy. Kryterium liniowej niezależności wektorów. Odwracalność macierzy i wyznaczanie macierzy odwrotnej. Objętość równoległościanu, pole powierzchni równoległoboku. 18. Postać wektorowa i macierzowa układu równań liniowych a twierdzenie Kroneckera-Capelliego o istnieniu i liczbie rozwiązań. 19. Postać naturalna, wektorowa i macierzowa układu równań liniowych. Trzy wersje rozwiązywania dowolnego układu równań liniowych metodą eliminacji kolejnych niewiadomych. Metoda przeciwnych współczynników, metoda wektorówortogonalnych i metoda eliminacji Gaussa. 20. Metody rozwiązywania układów równań liniowych typu Cramera. Wzory Cramera. Metoda macierzy odwrotnej. |
Bibliography: |
(in Polish) 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright, Matematyka dyskretna. PWN. 2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1, Definicje, twierdzenia, wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław. 3. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1, Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław. 4. K. Jezuita, Zestaw zadań z komentarzami i rozwiązaniami, forma elektroniczna. 5. R. Howe, From Arithmetic to Algebra, www.ime.math.arizona.edu |
Copyright by Cardinal Stefan Wyszynski University in Warsaw.