Analiza matematyczna II WM-I-Z-AM2
Wykład (WYK) Semestr letni 2022/23

Literatura obowiązkowa

G. Fichtenholz „Rachunek różniczkowy i całkowy”, tom. I, II

K. Kuratowski „Rachunek różniczkowy i całkowy”

J. Banaś, S. Wędrychowicz „Zbiór zadań z analizy matematycznej”

Literatura uzupełniająca

W. Rudin „Podstawy analizy matematycznej”

F. Leja „Rachunek różniczkowy i całkowy”

(1) Szeregi liczbowe. Warunek konieczny zbieżności, warunek Cauchy'ego. Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryterium porównawcze, kryteria Cauchy'ego i d'Alemberta. Kryterium Raabego.

(2) Szeregi o wyrazach dowolnych. Zbieżność bezwzględna. Kryteria Cauchy'ego i d'Alemberta.

(3) Szeregi potęgowe. Promień zbieżności szeregu potęgowego, wzór Hadamarda-Cauchy'ego. Kryterium Leibniza. Przekształcenie Abela. Kryterium Abela i Dirichleta. Przykłady zastosowania liczb zespolonych do obliczeń rzeczywistych.

(4) Własności sum nieskończonych. Łączność. Przemienność szeregów bezwględnie zbieżnych. Zbieżność warunkowa, twierdzenie Riemanna. Mnożenie szeregów, iloczyn Cauchy'ego.

(5) Rozwijanie funkcji elementarnych w szereg potęgowy. Wzór Eulera, zastosowania.

(6) Ciągi i szeregi funkcyjne. Zbieżność jednostajna. Kryterium Weierstrassa.

(7) Całka nieoznaczona. Podstawowe własności, całkowanie przez części i przez podstawienie.

(8) Całkowanie funkcji wymiernych – rozkład funkcji wymiernych na ułamki proste.

(9) Całkowanie wyrażeń zawierających pierwiastki. Podstawienia Eulera.

(10) Całkowanie wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne. Wzory rekurencyjne.

(11) Całka oznaczona. Podstawowe własności. Zastosowania całek oznaczonych w geometrii i fizyce.

(12) Całkowanie i różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych.

(13) Całki niewłaściwe. Zbieżność całek niewłaściwych.

(14) Funkcje wielu zmiennych, ciągłość, różniczkowalność. Wartości własne macierzy symetrycznych.

(15) Ekstrema funkcji wielu zmiennych.