Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego w Warszawie - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Analiza na rozmaitościach WM-MA-ANR
Wykład (WYK) Semestr zimowy 2022/23

Informacje o zajęciach (wspólne dla wszystkich grup)

Liczba godzin: 30
Limit miejsc: (brak limitu)
Literatura:

Literatura obowiązkowa

M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, PWN, 2006.

Literatura uzupełniająca

R. Narasimhan, Analysis on real and complex manifolds, Elsevier, 1985, II ed.

W. Wojtyński, Grupy i algebry Liego, PWN, 1986.

K. Maurin, Analiza, cz. 2, Wyd. PWN, 2021

P. Urbański, Analiza dla studentów fizyki, cz. III, Wyd. Wydawnictwo

Uniwersytetu Warszaskiego, 2008

Metody i kryteria oceniania:

Egzamin.

Zakres tematów:

1. Ciągłość i różniczkowalność funkcji wielu zmiennych. Słaba i mocna pochodna. Funkcje klasy $C^infty$. Przykłady (przykład funkcji ciągłej ale nie różniczkowalnej w punkcie, przykład funkcji różniczkowalnej w sensie słabym, ale nie różniczkowalnej w sensie mocnym).

2. Przestrzenie topologiczne, odwzorowania ciągłe, homeomorfizmy. Przestrzenie Hausdorffa i parazwarte. Przykłady (przykład przestrzeni niehausdorffowskiej).

3. Definicja atlasu klasy $C^infty$ na przestrzeni topologicznej. Równoważność atlasów. Przykłady.

4. Odwzorowania gładkie pomiędzy rozmaitościami. Podrozmaitości: definicja, przykłady. Twierdzenia o funkcji uwikłanej oraz o rzędzie maksymalnym.

5. Wektory styczne do rozmaitości (jako różniczkowania pierścienia funkcji; jako elementy przestrzeni dualnej do przestrzeni ilorazowej przestrzeni kiełków funkcji przez przestrzeń kiełków stacjonarnych; jako klasa równoważności krzywych na rozmaitości).

6. Przestrzeń styczna i kostyczna do rozmaitości w punkcie. Bazy tych przestrzeni związane z układami współrzędnych lokalnych.

7. Gładkie wiązki wektorowe. Wiązka styczna i kostyczna. Pola wektorowe i formy różniczkowe stopnia jeden.

8. Pojęcie iloczynu tensorowego dwóch przestrzeni wektorowych. Przestrzeń $k$-form na przestrzeni wektorowej, $k$-formy różniczkowe na rozmaitości.

9. Różniczkowanie zewnętrzne form różniczkowych i jego własności.

10. Lemat Poincarego i obliczenie potencjału formy na zbiorach gwiezdzistych.

11. Rozkład jedności na przestrzeniach parazwartych.

12. Orientacja przestrzeni wektorowej i rozmaitości. Rozmaitości orientowalne. Przykłady.

13. Całka z $n$-formy na rozmaitości wymiaru $n$.

14. Rozmaitości z brzegiem - definicja i przykłady.

15. Twierdzenie Stokesa.

Metody dydaktyczne:

Wykład informacyjny. Wykład problemowy.

Grupy zajęciowe

zobacz na planie zajęć

Grupa Termin(y) Prowadzący Miejsca Liczba osób w grupie / limit miejsc Akcje
1 co drugi czwartek (nieparzyste), 13:15 - 14:45, sala 308
co drugi czwartek (nieparzyste), 15:00 - 16:30, sala 203
Andriy Panasyuk 14/ szczegóły
Wszystkie zajęcia odbywają się w budynku:
Kampus Wóycickiego Bud. 21
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego w Warszawie.
ul. Dewajtis 5,
01-815 Warszawa
tel: +48 22 561 88 00 https://uksw.edu.pl
kontakt deklaracja dostępności mapa serwisu USOSweb 7.0.4.0-1 (2024-05-13)