Analiza na rozmaitościach WM-MA-ANR
Ćwiczenia (CW) Semestr zimowy 2022/23

Literatura obowiązkowa

M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, PWN, 2006.

Literatura uzupełniająca

R. Narasimhan, Analysis on real and complex manifolds, Elsevier, 1985, II ed.

W. Wojtyński, Grupy i algebry Liego, PWN, 1986.

1. Ciągłość i różniczkowalność funkcji wielu zmiennych. Słaba i mocna pochodna. Funkcje klasy $C^infty$. Przykłady (przykład funkcji ciągłej ale nie różniczkowalnej w punkcie, przykład funkcji różniczkowalnej w sensie słabym, ale nie różniczkowalnej w sensie mocnym).

2. Przestrzenie topologiczne, odwzorowania ciągłe, homeomorfizmy. Przestrzenie Hausdorffa i parazwarte. Przykłady (przykład przestrzeni niehausdorffowskiej).

3. Definicja atlasu klasy $C^infty$ na przestrzeni topologicznej. Równoważność atlasów. Przykłady.

4. Odwzorowania gładkie pomiędzy rozmaitościami. Podrozmaitości: definicja, przykłady. Twierdzenia o funkcji uwikłanej oraz o rzędzie maksymalnym.

5. Wektory styczne do rozmaitości (jako różniczkowania pierścienia funkcji; jako elementy przestrzeni dualnej do przestrzeni ilorazowej przestrzeni kiełków funkcji przez przestrzeń kiełków stacjonarnych; jako klasa równoważności krzywych na rozmaitości).

6. Przestrzeń styczna i kostyczna do rozmaitości w punkcie. Bazy tych przestrzeni związane z układami współrzędnych lokalnych.

7. Gładkie wiązki wektorowe. Wiązka styczna i kostyczna. Pola wektorowe i formy różniczkowe stopnia jeden.

8. Pojęcie iloczynu tensorowego dwóch przestrzeni wektorowych. Przestrzeń $k$-form na przestrzeni wektorowej, $k$-formy różniczkowe na rozmaitości.

9. Różniczkowanie zewnętrzne form różniczkowych i jego własności.

10. Lemat Poincarego i obliczenie potencjału formy na zbiorach gwiezdzistych.

11. Rozkład jedności na przestrzeniach parazwartych.

12. Orientacja przestrzeni wektorowej i rozmaitości. Rozmaitości orientowalne. Przykłady.

13. Całka z $n$-formy na rozmaitości wymiaru $n$.

14. Rozmaitości z brzegiem - definicja i przykłady.

15. Twierdzenie Stokesa.

Ćwiczenia audytoryjne. 2 kolokwia w trakcie semestru.