Analiza matematyczna I WM-FI-S1-E1-AM1
Ćwiczenia (CW) Semestr zimowy 2023/24

Literatura obowiązkowa

G. Fichtenholz „Rachunek różniczkowy i całkowy”, tom. I, II

K. Kuratowski „Rachunek różniczkowy i całkowy”

J. Banaś, S. Wędrychowicz „Zbiór zadań z analizy matematycznej”

Literatura uzupełniająca

W. Rudin „Podstawy analizy matematycznej”

F. Leja „Rachunek różniczkowy i całkowy”

(1) Podstawowe pojęcia z logiki i teorii zbiorów. Zbiory liczbowe, działania arytmetyczne. Indukcja.

(2) Granica ciągu liczbowego. Własności granic, wyrażenia nieoznaczone. Ciągi monotoniczne, granice ciągów monotonicznych.

(3) Punkty skupienia ciągu, twierdzenie Bolzano-Wierstrassa, warunek Cauchy'ego. Granica górna i dolna ciągu.

(4) Przegląd ważniejszych klas funkcji. Funkcje wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne, cyklometryczne, hiperboliczne. Ich wykresy i ważniejsze własności.

(5) Punkty skupienia zbioru, granica funkcji i jej własności. Granice jednostronne funkcji. Twierdzenia o istnieniu granic jednostronnych funkcji monotonicznej.

(6) Pojęcie ciągłości, ciągłość funkcji elementarnych, własności funkcji ciągłych. Klasyfikacja punktów nieciągłości.

(7) Twierdzenie Bolzano-Cauchy'ego, twierdzenie Weierstrassa. Ciągłość jednostajna, twierdzenie Cantora.

(8) Pojęcie pochodnej funkcji. Wyliczenie pochodnych ważniejszych funkcji. Reguły różniczkowania.

(9) Podstawowe własności funkcji różniczkowalnych. Twierdzenia Fermata, Darboux, Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego.

(10) Pochodna funkcji a monotoniczność. Wykorzystanie pochodnej do dowodzenia nierówności.

(11) Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora. Ekstrema lokalne funkcji. Warunki konieczne i wystarczające na istnienie ekstremum.

(12) Asymptoty funkcji i ich wyznaczanie. Wypukłość funkcji. Własności funkcji wykupłych, punkty przegięcia.

(13) Badanie przebiegu zmienności funkcji, rysowanie wykresów funkcji. Szukanie wartości największej i najmniejszej funkcji na danym zbiorze.

(14) Granice wyrażeń nieoznaczonych. Reguła de l'Hospitala.

(15) Przykłady równań funkcyjnych. Powtórzenie, przykładowe zadania egzaminacyjne.