Analiza matematyczna I WM-MA-AM1
Wykład (WYK) Semestr zimowy 2023/24

Literatura obowiązkowa:

1. P. Strzelecki, Analiza matematyczna I (skrypt wykładu), Wydział MIiM UW, 14 grudnia 2018.

2. K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa.

Literatura uzupełniająca:

3. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I, II, PWN, Warszawa.

4. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa.

5. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa.

Zakres tematów:

1. Aksjomatyka ciała liczb rzeczywistych, kres dolny i górny zbioru, aksjomat ciągłości

2. Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych, liczby wymierne i niewymierne, teoria Dedekinda liczb rzeczywistych

3. Liczby naturalne, zasada indukcji zupełnej

4. Pierwiastki n-tego stopnia, liczby całkowite, funkcja Entier, wartość bezwględna

5. Gęstość liczb wymiernych i niewymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych

6. Liczby zespolone

7. Ciągi liczbowe, pojęcie granicy ciągu, liczba e

8. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa, warunek Cauchy'ego

9. Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich, kryteria zbieżności

10. Szeregi liczbowe o wyrazach dowolnych, zbieżność bezwzględna i warunkowa, kryteria zbieżności

11. Mnożenie szeregów liczbowych, iloczyny nieskończone

12. Funkcje i ich własności, funkcje róznowartościowe, monotoniczne, odwrotne, funkcje elementarne

13. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna

14. Funkcje trygonometryczne i funkcje cyklometryczne

15. Liczba pi i wzór de Moivre'a

16. Punkty skupienia, granica funkcji

17. Ciągłość funkcji

18. Twierdzenie Weierstrassa o przyjmowaniu kresów i własność Darboux

19. Ciągłość funkcji odwrotnej

20. Jednostajna ciągłość funkcji

21. Zbiory zwarte

22. Funkcje wypukłe

23. Zasadnicze twierdzenie algebry

24. Pochodna funkcji, interpretacja geometryczna, związek z ciągłością, podstawowe wzory

25. Pochodna złożenia funkcji i pochodna funkcji odwrotnej

26. Pochodne funkcji elementarnych

27. Najważniejsze własności funkcji różniczkowalnych: warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji, twierdzenia Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego

28. Pochodne wyższych rzędów, wzór Taylora

29. Warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji, badanie wypukłości i punktów przegięcia, badanie przebiegu zmienności funkcji

30. Reguła de l'Hospitala