Analiza matematyczna II WM-MA-AM2
Ćwiczenia (CW) Semestr letni 2023/24

Literatura obowiązkowa:

1. W. Krysicki, L. Włodarski, "Analiza matematyczna w zadaniach", PWN, t. I, II

2. M. Gewert, Z. Skoczylas, "Analiza matematyczna 1" i "Analiza matematyczna 2", GiS, Wrocław

Literatura uzupełniająca:

3. J. Banaś, S. Wędrychowicz, "Zbiór zadań z analizy matematycznej", WNT, Warszawa

4. W. Kaczor, M. Nowak, "Zadania z analizy matematycznej", t. 2, 3, PWN, Warszawa

Zakres tematów:

1. Ciągi i szeregi funkcyjne: zbieżność punktowa i jednostajna, warunek Cauchy'ego.

2. Kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów fukcyjnych, wielomiany Bernsteina i twierdzenie Weierstrassa o jednostajnym przybliżaniu funkcji ciągłych wielomianami.

3. Twierdzenie o różniczkowaniu ciągów i szeregów funkcyjnych, konstrukcja funkcji ciągłej nigdzie nieróżniczkowalnej.

4. Twierdzenie Arzeli-Ascoli.

5. Szeregi potęgowe: wzór Cauchy-Hadamarda, promień i przedział zbieżności, różniczkowanie szeregów potęgowych, jednoznaczność rozwinięcia w szereg potęgowy.

6. Twierdzenie Abela o ciągłości na krańcach przedziału zbieżności, rozwijanie funkcji w szereg potęgowy, funkcje analityczne.

7. Funkcja pierwotna, twierdzenie mówiące, że każda funkcj ciągła ma funkcję pierwotną. Całka nieoznaczona: podstawowe wzory i własności, całkowanie przez części i przez podstawienie.

8. Całkowanie funkcji wymiernych i trygonometrycznych.

9. Całkowanie funkcji niewymiernych: przy pomocy funkcji hiperbolicznych i funkcji area oraz za pomocą podstawień Eulera.

10. Całka oznaczona (Newtona): podstawowe wzory i własności, twierdzenie o przejściu granicznym pod znakiem całki.

11. Przybliżanie całki oznaczonej sumami całkowymi i interpretacja geometryczna całki oznaczonej.

12. Wzór Wallisa i wzór Stirlinga, wzór Taylora z resztą całkową.

13. Twierdzenia o wartości średniej dla całek i ich zastosowania.

14. Całka Riemanna: konstrukcja całki Riemanna, całka dolna i górna, funkcje całkowalne w sensie Riemanna i ich charakteryzacja, równość z całką oznaczoną dla funkcji ciągłych.

15. Zastosowanie geometryczne całek: obliczanie długości krzywych.

16. Obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych.

17. Całki niewłaściwe na przedziale nieskończonym: warunek Cauchy'ego, zbieżność bezwzględna i warunkowa.

18. Zbieżność warunkowa całki Dirichleta, związek zbieżności całki niewłaściwej ze zbieżnością odpowiednich szeregów liczbowych.

19. Kryterium porównawcze i kryterium Abela-Dirichleta dla całek niewłaściwych na przedziale nieskończonym.

20. Całki niewłaściwe na przedziale skończonym: warunek Cauchy'ego, kryterium porównawcze.

21. Funkcja gamma Eulera i jej własności, logarytmiczna wypukłość, nierówność Younga i nierówność Holdera, twierdzenie Bohra

22. Wzór Gaussa, funkcja beta Eulera i jej własności.

23. Wzór iloczynowy Weierstrassa, wzór Legendre'a.

24. Związek funkcji gamma z funkcją sinus, rozwinięcie cotangensa w szereg ułamków prostych.

25. Liczby Bernoulliego i wartości funkcji dzeta Riemanna dla liczb parzystych.

26. Rzeczywiste i zespolone szeregi Fouriera, lemat Riemanna-Lebesgue'a.

27. Kryterium Diniego zbieżności szeregów Fouriera.

28. Zbieżność szeregów Fouriera w L^2.