|
Zakres tematów:
1. Ciągi i szeregi funkcyjne: zbieżność punktowa i jednostajna, warunek Cauchy'ego.
2. Kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów fukcyjnych, wielomiany Bernsteina i twierdzenie Weierstrassa o jednostajnym przybliżaniu funkcji ciągłych wielomianami.
3. Twierdzenie o różniczkowaniu ciągów i szeregów funkcyjnych, konstrukcja funkcji ciągłej nigdzie nieróżniczkowalnej.
4. Twierdzenie Arzeli-Ascoli.
5. Szeregi potęgowe: wzór Cauchy-Hadamarda, promień i przedział zbieżności, różniczkowanie szeregów potęgowych, jednoznaczność rozwinięcia w szereg potęgowy.
6. Twierdzenie Abela o ciągłości na krańcach przedziału zbieżności, rozwijanie funkcji w szereg potęgowy, funkcje analityczne.
7. Funkcja pierwotna, twierdzenie mówiące, że każda funkcj ciągła ma funkcję pierwotną. Całka nieoznaczona: podstawowe wzory i własności, całkowanie przez części i przez podstawienie.
8. Całkowanie funkcji wymiernych i trygonometrycznych.
9. Całkowanie funkcji niewymiernych: przy pomocy funkcji hiperbolicznych i funkcji area oraz za pomocą podstawień Eulera.
10. Całka oznaczona (Newtona): podstawowe wzory i własności, twierdzenie o przejściu granicznym pod znakiem całki.
11. Przybliżanie całki oznaczonej sumami całkowymi i interpretacja geometryczna całki oznaczonej.
12. Wzór Wallisa i wzór Stirlinga, wzór Taylora z resztą całkową.
13. Twierdzenia o wartości średniej dla całek i ich zastosowania.
14. Całka Riemanna: konstrukcja całki Riemanna, całka dolna i górna, funkcje całkowalne w sensie Riemanna i ich charakteryzacja, równość z całką oznaczoną dla funkcji ciągłych.
15. Zastosowanie geometryczne całek: obliczanie długości krzywych.
16. Obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych.
17. Całki niewłaściwe na przedziale nieskończonym: warunek Cauchy'ego, zbieżność bezwzględna i warunkowa.
18. Zbieżność warunkowa całki Dirichleta, związek zbieżności całki niewłaściwej ze zbieżnością odpowiednich szeregów liczbowych.
19. Kryterium porównawcze i kryterium Abela-Dirichleta dla całek niewłaściwych na przedziale nieskończonym.
20. Całki niewłaściwe na przedziale skończonym: warunek Cauchy'ego, kryterium porównawcze.
21. Funkcja gamma Eulera i jej własności, logarytmiczna wypukłość, nierówność Younga i nierówność Holdera, twierdzenie Bohra
22. Wzór Gaussa, funkcja beta Eulera i jej własności.
23. Wzór iloczynowy Weierstrassa, wzór Legendre'a.
24. Związek funkcji gamma z funkcją sinus, rozwinięcie cotangensa w szereg ułamków prostych.
25. Liczby Bernoulliego i wartości funkcji dzeta Riemanna dla liczb parzystych.
26. Rzeczywiste i zespolone szeregi Fouriera, lemat Riemanna-Lebesgue'a.
27. Kryterium Diniego zbieżności szeregów Fouriera.
28. Zbieżność szeregów Fouriera w L^2.
|
