Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego w Warszawie - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Topologia

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: WM-MA-TP
Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (brak danych)
Nazwa przedmiotu: Topologia
Jednostka: Wydział Matematyczno-Przyrodniczy. Szkoła Nauk Ścisłych
Grupy: MATEMATYKA I stopnia - rozkład zajęć: III rok
Punkty ECTS i inne: 5.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Dyscyplina naukowa, do której odnoszą się efekty uczenia się:

matematyka

Poziom przedmiotu:

średnio-zaawansowany

Symbol/Symbole kierunkowe efektów uczenia się:

MA2_W01, MA2_W02, MA2_W03

MA2_U01, MA2_U03, MA2_U04, MA2_U08; MA2_K02

Wymagania wstępne:

Analiza I, Logika i teoria mnogości, Wprowadzenie do topologii i jej zastosowań.

Skrócony opis:

W wyniku zaliczenia przedmiotu student powinien umieć:

Sprawdzić ciągłość przekształcenia, sprawdzić czy dana własność jest własnością topologiczną i czy dane przestrzenie są homeomorficzne. Udowodnić jakie własności zachowują się przy przekształceniach ciągłych.

Dowodzić twierdzeń egzystencjalnych korzystając z twierdzenia Baire’a i z twierdzenia Banacha.

Znać podstawowe przykłady przestrzeni topologicznych, jak płaszczyzna Niemyckiego, strzałka itp. oraz umieć sprawdzić ich własności.

Udowodnić, że dana przestrzeń topologiczna jest (bądź nie jest) zwarta.

Sprawdzić, czy dana przestrzeń topologiczna jest spójna.

Sprawdzić, czy dana przestrzeń metryczna jest zupełna.

Określić gęstość, charakter i ciężar przestrzeni.

Sprawdzić jakie aksjomaty oddzielania spełnia dana przestrzeń.

Udowodnić podstawowe twierdzenia, jak np. Lemat Urysohna, Twierdzenie Tietzego-Urysohna.

Pełny opis:

Treści merytoryczne:

1. Przestrzeń metryczna, metryka, kula, zbiór otwarty, domknięty, topologia, wnętrze domknięcie zbioru, zbiory gęste i brzegowe, zbiory ograniczone, granica ciągu. Baza przestrzeni topologicznej, metryki równoważne.

2. Operacje na przestrzeniach metrycznych. Podprzestrzeń, iloczyn kartezjański.

3. Przestrzeń metryczna całkowicie ograniczona i przestrzeń metryczna zupełna, twierdzenie Cantora i twierdzenie Baire’a. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym.

4. Zastosowanie twierdzeń Banacha i Baire'a.

5. Przestrzeń topologiczna. Aksjomaty oddzielania T1, T2, T3, T4, przykłady.

6. Dalsze przykłady przestrzeni topologicznych. Własności.

7. Przekształcenia ciągłe. Definicja przekształcenia ciągłego, warunki równoważne. Homeomorfizmy. Pojęcie własności topologicznej.

8. Niezmienniki przekształceń ciągłych.

9. Lemat Urysohna, Twierdzenie Tietzego-Urysohna.

10. Gęstość, charakter i ciężar przestrzeni.

11. Zwartość. Przykłady.

12. Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych. Uzwarcenie.

13. Continua.

14.Własności multiplikatywne.

15..Metryzowalność przestrzeni.

Literatura:

Literatura podstawowa:

1. R. Engelking, K.Sieklucki, Geometria i topologia, część II Topologia, PWN, Warszawa 1980.

2. R. Engelking, Topologia ogólna, Warszawa 1976.

B. Węglorz, Topologia, Warszawa 2017.

Literatura uzupełniająca:

1. K. Sieklucki, Geometria i topologia, część I Geometria, PWN, 1980.

2. W. Kulpa, Topologia a ekonomia,

Wydawnictwo UKSW, Warszawa 2009.

3. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii,

PWN, Warszawa 1972.

Efekty kształcenia i opis ECTS:

Wykład:

Posiada pogłębioną wiedzę z topologii.

Rozumie znaczenie rozumowania i konstrukcji przykładów w topologii.

Zna najważniejsze twierdzenia z topologii ogólnej, w szczególności Twierdzenie Baire'a, Lemat Urysohna, Twierdzenie Tietzego-Urysohna, Twierdzenie Tichonowa.

Zna najważniejsze przykłady przestrzeni topologicznych i ich własności.

Ćwiczenia:

Potrafi dowodzić proste twierdzenia i konstruować przykłady przestrzeni topologicznych świadczące o istotności założeń oraz o nieprawdziwości hipotez.

Potrafi sprawdzić poprawność dowodu.

Rozumie znaczenie własności struktur formalnych w topologii.

Posiada umiejętności rozpoznawania struktur topologicznych w obiektach matematycznych występujących np. w geometrii lub analizie matematycznej; potrafi wykorzystać podstawowe własności topologiczne zbiorów, funkcji i przekształceń ciągłych.

Jest gotów i potrafi formułować pytania, służące pogłębieniu własnego

zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów

rozumowania.

Metody i kryteria oceniania:

Dla wszystkich efektów przyjmuje się następujące kryteria oceny we wszystkich formach weryfikacji:

ocena 5: osiągnięty w pełni (bez uchwytnych niedociągnięć)

ocena 4,5: osiągnięty niemal w pełni i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny

ocena 4: osiągnięty w znacznym stopniu i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny

ocena 3,5: osiągnięty w znacznym stopniu – z wyraźną przewagą pozytywów – i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny

ocena 3: osiągnięty dla większości przypadków objętych weryfikacją i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny

ocena 2: nie został osiągnięty dla większości przypadków objętych weryfikacją

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2022/23" (w trakcie)

Okres: 2022-10-01 - 2023-01-31
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Lidia Waśko
Prowadzący grup: Lidia Waśko
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzaminacyjny
E-Learning:

E-Learning (pełny kurs) z podziałem na grupy

Opis nakładu pracy studenta w ECTS:

wykład:

uczestnictwo w zajęciach 30h,

egzamin 2h,

przygotowanie do egzaminu 8h,

przygotowanie do zajęć 10h,

Razem 50 godz co daje 2 punkty ECTS

ćwiczenia:

uczestnictwo w zajęciach 30h, ,

przygotowanie do zajęć 25h,

prace domowe 20h.

Razem 75 godz co daje 3 punkty ECTS

Typ przedmiotu:

obowiązkowy

Grupa przedmiotów ogólnouczenianych:

nie dotyczy

Skrócony opis:

W wyniku zaliczenia przedmiotu student powinien umieć:

Sprawdzić ciągłość przekształcenia, sprawdzić czy dana własność jest własnością topologiczną i czy dane przestrzenie są homeomorficzne. Udowodnić jakie własności zachowują się przy przekształceniach ciągłych.

Dowodzić twierdzeń egzystencjalnych korzystając z twierdzenia Baire’a i z twierdzenia Banacha.

Udowodnić, że dana przestrzeń topologiczna jest (bądź nie jest) zwarta.

Sprawdzić, czy dana przestrzeń topologiczna jest spójna.

Sprawdzić, czy dana przestrzeń metryczna jest zupełna.

Określić gęstość, charakter i ciężar przestrzeni.

Sprawdzić jakie aksjomaty oddzielania spełnia dana przestrzeń.

Udowodnić podstawowe twierdzenia, jak np. Lemat Urysohna, Twierdzenie Tietzego-Urysohna.

Pełny opis:

Treści merytoryczne:

1. Przestrzeń metryczna, metryka, kula, zbiór otwarty, domknięty, topologia, wnętrze domknięcie zbioru, zbiory gęste i brzegowe, zbiory ograniczone, granica ciągu. Baza przestrzeni topologicznej, metryki równoważne.

2. Operacje na przestrzeniach metrycznych. Podprzestrzeń, iloczyn kartezjański.

3. Przestrzeń metryczna całkowicie ograniczona i przestrzeń metryczna zupełna, twierdzenie Cantora i twierdzenie Baire’a. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym.

4. Zastosowanie twierdzeń Banacha i Baire'a.

5. Przestrzeń topologiczna. Aksjomaty oddzielania T1, T2, T3, T4, przykłady.

6. Dalsze przykłady przestrzeni topologicznych. Własności.

7. Przekształcenia ciągłe. Definicja przekształcenia ciągłego, warunki równoważne. Homeomorfizmy. Pojęcie własności topologicznej.

8. Niezmienniki przekształceń ciągłych.

9. Lemat Urysohna, Twierdzenie Tietzego-Urysohna.

10. Gęstość, charakter i ciężar przestrzeni.

11. Zwartość. Przykłady.

12. Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych. Uzwarcenie.

13. Continua.

14. Własności multiplikatywne.

15..Metryzowalność przestrzeni.

Literatura:

Literatura podstawowa:

1. R. Engelking, K.Sieklucki, Geometria i topologia, część II Topologia, PWN, Warszawa 1980.

2. R. Engelking, Topologia ogólna, Warszawa 1976.

B. Węglorz, Topologia, Warszawa 2017.

Literatura uzupełniająca:

1. K. Sieklucki, Geometria i topologia, część I Geometria, PWN, 1980.

2. W. Kulpa, Topologia a ekonomia,

Wydawnictwo UKSW, Warszawa 2009.

3. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii,

PWN, Warszawa 1972.

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego w Warszawie.
ul. Dewajtis 5,
01-815 Warszawa
tel: +48 22 561 88 00 https://uksw.edu.pl
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 6.8.0.0-5 (2022-09-30)