Algebra liniowa

matematyka

podstawowy

MA1_U01, MA1_U19, MA1_U18,

MA1_U20, MA1_W02,

MA1_W03,

MA1_W04

brak wymagań

Poziom przedmiotu: podstawowy

Cele przedmiotu: Wprowadzenie do algebry liniowej. Przedstawienie podstawowych struktur algebraicznych ( grupa, ciało, przestrzeń liniowa ) wraz z właściwościami występujących w nich działań. Ukazanie znaczenia zapisu macierzowego, metody operacji elementarnych na wierszach lub kolumnach macierzy, wyznacznika oraz pojęcia wektora do analizy i rozwiązywania różnorodnych problemów ( formułowanie warunków i kryteriów, tworzenie algorytmów, dowodzenie twierdzeń ) dotyczących trzech, ściśle ze sobą powiązanych zagadnień algebry liniowej:

- analizy liniowej zależności wektorów,

- badania podstawowych właściwości przekształceń liniowych,

- rozwiązywania układów równań liniowych.

Wymagania wstępne: brak

Treści merytoryczne przedmiotu:

1. grupy, pierścienie, ciała.

2. charakterystyka ciała, elementy odwracalne i dzielniki zera w pierścieniach.

3. Ciało liczb zespolonych. Postać trygonometryczna i wykładnicza. Interpretacja geometryczna.

4. Wzór Moivre’a, potęgi i pierwiastki z liczb zespolonych.

5. Przestrzeń liniowa. Przykłady.

6. Kombinacja liniowa wektorów. Podprzestrzeń. Interpretacja geometryczna.

7. Liniowa niezależność wektorów. Baza przestrzeni.

8. Twierdzenie Steinitza o wymianie. Wymiar przestrzeni.

9. Układy równań liniowych. Macierze.

10. Metoda eliminacji Gaussa.

11. Wyznaczniki. Wzory Cramera.

12. Twierdzenie Kroneckera- Capelliego.

13. Przekształcenie liniowe. Izomorfizm liniowy. Macierz przekształcenia.

14. Jądro i obraz przekształcenia.

15. Twierdzenia dotyczące jądra i obrazu. W zależności od czasu wektory własne i wartości własne przekształcenia.

Metody oceny: Częste 30-minutowe sprawdziany w trakcie ćwiczeń oraz pisemny egzamin końcowy.

Litrratura podstawowa:

1. A.I. Kostrikin, Wstęp do algebry, Cz. I: Algebra liniowa, PWN, Warszawa 2004.

2. S. Zakrzewski, Algebra i geometria, Wydawnictwo UKSW, Warszawa 2006

3.J. Rutkowski, Algebra liniowa w zadaniach.

Literatura dodatkowa:

1. A. Białynicki-Birula, Algebra Liniowa z Geometrią, PWN, Warszawa 1979

2. A. Kostrykin, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 2005.

3. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1 Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2003.

4. K. Jezuita, Zestawy zadań, forma elektroniczna.

analizuje dowody twierdzeń algebry liniowej

rozwiązuje układy równań liniowych

posługuje się pojęciem przestrzeni liniowej, wektora i macierzy oraz oblicza wartości własne i wektory własne

formułuje podstawowe twierdzenia i definicje związane z elementami algebry liniowej

(wektor, baza, macierz, twierdzenie Cramera, twierdzenie Kronekera-Capelliego)

Dla wszystkich efektów przyjmuje się następujące kryteria oceny we wszystkich formach weryfikacji:

ocena 5: osiągnięty w pełni (bez uchwytnych niedociągnięć)

ocena 4,5: osiągnięty niemal w pełni i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny

ocena 4: osiągnięty w znacznym stopniu i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny

ocena 3,5: osiągnięty w znacznym stopniu – z wyraźną przewagą pozytywów – i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny

ocena 3: osiągnięty dla większości przypadków objętych weryfikacją i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny

ocena 2: nie został osiągnięty dla większości przypadków objętych weryfikacją

E-Learning (pełny kurs) z podziałem na grupy

Wprowadzenie do algebry liniowej.

Przedstawienie podstawowych struktur algebraicznych ( grupa, ciało, przestrzeń liniowa ) wraz z właściwościami występujących w nich działań. Ukazanie znaczenia zapisu macierzowego, metody operacji elementarnych na wierszach lub kolumnach macierzy, wyznacznika oraz pojęcia wektora do analizy i rozwiązywania różnorodnych problemów dotyczących trzech, ściśle ze sobą powiązanych zagadnień algebry liniowej:

- analizy liniowej zależności wektorów,

- badania podstawowych właściwości przekształceń liniowych,

- rozwiązywania układów równań liniowych.

1.Zbiory. Relacje równoważności .

2. Relacja pomiędzy dwoma zbiorami, wykres, funkcja.

3. Definicje, twierdzenia, dowody.

4. Grupy, ciała, przestrzenie liniowe. Homomorfizm grup, izomorfizm ciał, przekształcenie liniowe przestrzeni liniowych.

5. Structura przestrzeni liniowych. Kombinacja liniowa wektorów, powłoka liniowa, liniowa niezależność, baza, wymiar. podprzestrzeń liniowa. Współrzędne wektora w bazie, macierz wektora.

6. Przekształcenia liniowe przestrzeni skończenie wymiarowych.

Macierz przekształcenia liniowego.

7. Działania na macierzach. Składanie przekształceń a mnożenie macierzy. Kombinacja liniowa wektorów a mnożenie macierzy.

8. Struktura algebraiczna ciała liczb zespolonych

Liczba zespolona jako para liczb rzeczywistych, rozszerzenie ciała liczb rzeczywistych o element urojony. Liczby zespolone jako macierze przekształceń w R2.

9. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych.

Płaszczyzna zespolona: postać trygonometryczna, wzór Eulera; działania w zbiorze liczb zespolonych a przekształcenia płaszczyzny. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych.

10. Macierze i wyznaczniki.

Definicje, właściwości i obliczanie wyznaczników. Rozwinięcie Laplace’a, operacje elementarne na kolumnach i wierszach macierzy.

11. Macierze i wyznaczniki.

Nieprzemienność mnożenia macierzy. Odwracalność macierzy. Macierz odwrotna. Rząd macierzy. Objętość zorientowana.

12. Postać wektorowa i macierzowa układu równań liniowych. Istnienie i liczba rozwiązań układu równań. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

13. Metody rozwiązywania układu równań liniowych. Wersja wektorowa i macierzowa metody eliminacji, wzory Cramera, metoda macierzy odwrotnej.

14. Jądro i obraz przekształcenia liniowego, przeciwobraz wektora a układy równań liniowych.

15. Geometryczna interpretacja zbioru rozwiązań układu równań liniowych Podprzestrzeń liniowa dla układu jednorodnego. Podprzestrzeń afiniczna dla układu niejednorodnego.

Metody oceny: Częste 30-minutowe sprawdziany w trakcie ćwiczeń oraz pisemny egzamin końcowy.

Kod do zajęć znajduje się na Moodlu

1. A.I. Kostrikin, Wstęp do algebry, Cz. I: Algebra liniowa, PWN, Warszawa 2004.

1. A. Białynicki-Birula, Algebra Liniowa z Geometrią, PWN, Warszawa 1979

2. S. Zakrzewski, Algebra i geometria, Wydawnictwo UKSW, Warszawa 2006.

3. A. Kostrykin, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 2005.

4. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1 Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2003.

5. K. Jezuita, Zestawy zadań, forma elektroniczna.

brak

E-Learning (pełny kurs) z podziałem na grupy

Wprowadzenie do algebry liniowej.

Przedstawienie podstawowych struktur algebraicznych ( grupa, ciało, przestrzeń liniowa ) wraz z właściwościami występujących w nich działań. Ukazanie znaczenia zapisu macierzowego, metody operacji elementarnych na wierszach lub kolumnach macierzy, wyznacznika oraz pojęcia wektora do analizy i rozwiązywania różnorodnych problemów dotyczących trzech, ściśle ze sobą powiązanych zagadnień algebry liniowej:

- analizy liniowej zależności wektorów,

- badania podstawowych właściwości przekształceń liniowych,

- rozwiązywania układów równań liniowych.

Treści merytoryczne przedmiotu:

1. grupy, pierścienie, ciała.

2. charakterystyka ciała, elementy odwracalne i dzielniki zera w pierścieniach.

3. Ciało liczb zespolonych. Postać trygonometryczna i wykładnicza. Interpretacja geometryczna.

4. Wzór Moivre’a, potęgi i pierwiastki z liczb zespolonych.

5. Przestrzeń liniowa. Przykłady.

6. Kombinacja liniowa wektorów. Podprzestrzeń. Interpretacja geometryczna.

7. Liniowa niezależność wektorów. Baza przestrzeni.

8. Twierdzenie Steinitza o wymianie. Wymiar przestrzeni.

9. Układy równań liniowych. Macierze.

10. Metoda eliminacji Gaussa.

11. Wyznaczniki. Wzory Cramera.

12. Twierdzenie Kroneckera- Capelliego.

13. Przekształcenie liniowe. Izomorfizm liniowy. Macierz przekształcenia.

14. Jądro i obraz przekształcenia.

15. Twierdzenia dotyczące jądra i obrazu. W zależności od czasu wektory własne i wartości własne przekształcenia.

Metody oceny: Częste 30-minutowe sprawdziany w trakcie ćwiczeń oraz pisemny egzamin końcowy.

Litrratura podstawowa:

1. A.I. Kostrikin, Wstęp do algebry, Cz. I: Algebra liniowa, PWN, Warszawa 2004.

2. S. Zakrzewski, Algebra i geometria, Wydawnictwo UKSW, Warszawa 2006

3.J. Rutkowski, Algebra liniowa w zadaniach.

Literatura dodatkowa:

1. A. Białynicki-Birula, Algebra Liniowa z Geometrią, PWN, Warszawa 1979

2. A. Kostrykin, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 2005.

3. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1 Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2003.

4. K. Jezuita, Zestawy zadań, forma elektroniczna.

brak

E-Learning (pełny kurs) z podziałem na grupy

WYKŁAD

szacunkowy nakład pracy studenta:

- uczestnictwo w zajęciach 30h

- przygotowanie do zajęć 30h

- przygotowanie do egzaminu 20h

razem 80h, co dopowiada 3 ECTS

ĆWICZENIA

szacunkowy nakład pracy studenta:

- uczestnictwo w zajęciach 60h

- przygotowanie do zajęć 20h

- przygotowanie do weryfikacji 20h

razem 100h, co odpowiada 4 ECTS

Przedmiot ten daje solidne podstawy w kluczowych obszarach współczesnej matematyki potrzebnej w nauce i technologii. Rozwija pojęcia wektorów, macierzy oraz metody algebry liniowej. Studenci powinni rozwinąć umiejętność posługiwania się metodami algebry liniowej.

Litrratura podstawowa:

1. A.I. Kostrikin, Wstęp do algebry, Cz. I: Algebra liniowa, PWN, Warszawa 2004.

2. S. Zakrzewski, Algebra i geometria, Wydawnictwo UKSW, Warszawa 2006

3.J. Rutkowski, Algebra liniowa w zadaniach.

Literatura dodatkowa:

1. A. Białynicki-Birula, Algebra Liniowa z Geometrią, PWN, Warszawa 1979

2. A. Kostrykin, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 2005.

3. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1 Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2003.

4. K. Jezuita, Zestawy zadań, forma elektroniczna.

brak

E-Learning (pełny kurs) z podziałem na grupy

WYKŁAD

szacunkowy nakład pracy studenta:

- uczestnictwo w zajęciach 30h

- przygotowanie do zajęć 30h

- przygotowanie do egzaminu 20h

razem 80h, co dopowiada 3 ECTS

ĆWICZENIA

szacunkowy nakład pracy studenta:

- uczestnictwo w zajęciach 60h

- przygotowanie do zajęć 20h

- przygotowanie do weryfikacji 20h

razem 100h, co odpowiada 4 ECTS

obowiązkowy

nie dotyczy

Przedmiot ten daje solidne podstawy w kluczowych obszarach współczesnej matematyki potrzebnej w nauce i technologii. Rozwija pojęcia wektorów, macierzy oraz metody algebry liniowej. Studenci powinni rozwinąć umiejętność posługiwania się metodami algebry liniowej.

Litrratura podstawowa:

1. A.I. Kostrikin, Wstęp do algebry, Cz. I: Algebra liniowa, PWN, Warszawa 2004.

2. S. Zakrzewski, Algebra i geometria, Wydawnictwo UKSW, Warszawa 2006

3.J. Rutkowski, Algebra liniowa w zadaniach.

Literatura dodatkowa:

1. A. Białynicki-Birula, Algebra Liniowa z Geometrią, PWN, Warszawa 1979

2. A. Kostrykin, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 2005.

3. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1 Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2003.

4. K. Jezuita, Zestawy zadań, forma elektroniczna.

brak