Równania różniczkowe cząstkowe

Cele przedmiotu: umiejętność stosowania podstawowych metod rozwiązywania klasycznych równań różniczkowych cząstkowych. Znajomość podstawowych wyników jakościowych teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Metody oceny: dwa sprawdziany pisemne dopuszczające do pierwszego terminu egzaminu. Egzamin pisemny i ustny.

1.Równania różniczkowe cząstkowe rzędu pierwszego. Metoda charakterystyk. Przykłady zastosowania tej metody w przypadku liniowym, quasiliniowym i nieliniowym.

2. Równania Laplace'a i jego zastosowania w technice.

3. Funkcje harmoniczne. Twierdzenie o wartości średniej dla funkcji harmonicznych. Słaba i mocna zasada maksimum. Jednoznaczność klasycznych rozwiązań zagadnienia Dirichleta dla równania Poissona na ograniczonych obszarach.

4. Rozwiązanie podstawowe równania Laplace'a. Rozwiązanie równania Poissona w całej przestrzeni. Zasada symetrii Schwarza.

5. Funkcja Greena zagadnienia Dirichleta w półprzestrzeni i w kuli.

6. Funkcja Greena zagadnienia Neumanna w dwuwymiarowej kuli jednostkowej,

7. Gładkość klasycznych rozwiązań równania Laplace'a. Oszacowania pochodnych funkcji harmonicznych.

8. Twierdzenie Louiville'a. Nierówność Harnacka. Zasada Dirichleta.

9. Równanie przewodnictwa ciepła i jego interpretacja fizyczna. Rozwiązanie podstawowe i rozwiązanie zagadnienia Cauchy'ego w całej przestrzeni.

10. Twierdzenie o wartości średniej dla rozwiązań równania przewodnictwa ciepła. Zasada maksimum i jej konsekwencje praktyczne (nieskończona prędkość rozchodzenia się sygnałów cieplnych). Twierdzenie o jednoznaczności rozwiązań klasycznych w obszarach ograniczonych.

11. Zasada maksimum dla rozwiązań spełniających warunek wzrostu zagadnienia Cauchy'ego w całej przestrzeni. Gładkość rozwiązań klasycznych równania przewodnictwa ciepła i oszacowania pochodnych. Wsteczna jednoznaczność rozwiązań równania przewodnictwa ciepła na zbiorach ograniczonych.

12. Równanie falowe i jego interpretacja fizyczna. Wzór d'Alamberta. Uśrednienia sferyczne i równanie Eulera-Poissona-Darboux, wzór Kirchhoffa i wzór Poissona. Jednoznaczność klasycznych rozwiązań równania falowego.

13. Metoda rozdzielenia zmiennych jako narzędzie rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych w specjalnych obszarach.

14. Klasyfikacja równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu o stałych współczynnikach i sprowadzanie równania do postaci kanonicznej.

15. Informacje o innych klasycznych metodach w równaniach różniczkowych cząstkowych: teoria potencjału, metoda Perrona.Wprowadzenie do słabych rozwiązań równań różniczkowych cząstkowych.

L. Evans - Równania różniczkowe cząstkowe -PWN Warszawa 2004

F. John - Partial differential equations - Springer New York, Heidelberg, Berlin 1978

E-Learning

obowiązkowy

nie dotyczy

E-Learning (pełny kurs) z podziałem na grupy

obowiązkowy

nie dotyczy

E-Learning (pełny kurs) z podziałem na grupy

obowiązkowy

nie dotyczy

E-Learning

obowiązkowy

nie dotyczy