Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego w Warszawie - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Teoria miary i całki

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: WM-MA-TMC Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (brak danych)
Nazwa przedmiotu: Teoria miary i całki
Jednostka: Wydział Matematyczno-Przyrodniczy. Szkoła Nauk Ścisłych
Grupy: MATEMATYKA I stopnia - rozkład zajęć: II rok
Punkty ECTS i inne: 0 LUB 5.00 (w zależności od programu)
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Poziom przedmiotu:

średnio-zaawansowany

Symbol/Symbole kierunkowe efektów uczenia się:

MA2_W01, MA2_W03, MA2_W02, MA2_U04, MA2_U07, MA2_U01, MA2_U03, MA2_U14


Skrócony opis:

Poziom przedmiotu:

Cele przedmiotu: Zapoznanie studentów z następującymi pojęciami: zbiory i funkcje mierzalne, zbieżności odwzorowań mierzalnych (względem miary, prawie wszędzie itd.), całka względem miary. Student po ukończeniu kursu powinien umieć: całkować względem miary Lebesgue'a "obszerną" klasę funkcji mierzalnych; powinien radzić sobie z całkowaniem wielu funkcji względem dowolnych miar spotykanych w zastosowaniach matematyki, w szczególności, względem typowych w zastosowaniach miar produktowych; powinien umieć oszacować całki, których nie potrafi policzyć bezpośrednio.

Wymagania wstępne: Analiza matematyczna, elementy logiki matematycznej, elementy teorii mnogości.

Pełny opis:

Treści merytoryczne: algebry i $sigma$-algebry zbiorów, ciągi zbiorów, granice ciągów zbiorów, $sigma$-algebry generowane, zbiory Borelowskie, miary zewnętrzne, warunek Caratheodory'ego, miary na $sigma$-algebrach, konstrukcje miar, miary zewnętrznie i wewnętrznie regularne, miara Lebesgue'a, funkcje mierzalne, operacje na funkcjach mierzalnych zachowujące mierzalność, równość prawie wszędzie funkcji, ciągi i granice funkcji mierzalnych, zbieżności prawie wszędzie, zbieżności względem miary, całka względem miary, związek całki Riemana i Lebesgue'a, twierdzenia o zbieżności całek, produkt $sigma$-algebr, miary produktowe, całkowanie względem miar produktowych, twierdzenie Radona-Nikodyma

Metody oceny: Praca na ćwiczeniach powinna być oceniona na podstawie pisemnego sprawdzianu. W trakcie sprawdzianu student powinien samodzielnie rozwiązać postawione problemy (weryfikujące znajomość materiału przerobionego w trakcie ćwiczeń). Egzamin końcowy powinien weryfikować wiedzę teoretyczną studenta z zakresu teorii miary i całki, tj. znajomość pojęć i ich własności, umiejętność przeprowadzania rozumowań z wykorzystaniem pojęć teorii miary, umiejętność rozwiązywania problemów posługując się wiedzą z teorii miary i całki. Ocena końcowa z przedmiotu będzie uwzględniać zarówno umiejętności nabyte w trakcie ćwiczeń jak i znajomość teorii.

Literatura:

Zalecana:

1. J. Yeh, Real Analysis, Theory of Measure and Integration, 2nd edition, World Scientific, New Jersey (2006).

2. S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN Warszawa 1976.

Efekty kształcenia i opis ECTS:

tłumaczy podstawowe zagadnienia związane z miarą i całką Lebesgue'a (σ-algebra zbiorów, miara i miara zewnętrzna, funkcje mierzalne, całka względem miary),

prezentuje dowody wybranych twierdzeń z teorii miary i całki,

swobodnie posługuje się podstawowymi definicjami z zakresu teorii miary i całki,

konstruuje przykłady i kontrprzykłady, wykorzystując narzędzia analizy i topologii,

oblicza całki funkcji względem miary

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2019/20" (zakończony)

Okres: 2019-10-01 - 2020-01-31
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Sławomir Turek
Prowadzący grup: Sławomir Turek
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzaminacyjny
Typ przedmiotu:

obowiązkowy

Grupa przedmiotów ogólnouczenianych:

nie dotyczy

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2020/21" (zakończony)

Okres: 2020-10-01 - 2021-01-31
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Sławomir Turek
Prowadzący grup: Sławomir Turek
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzaminacyjny
E-Learning:

E-Learning (pełny kurs) z podziałem na grupy

Typ przedmiotu:

obowiązkowy

Grupa przedmiotów ogólnouczenianych:

nie dotyczy

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2021/22" (w trakcie)

Okres: 2021-10-01 - 2022-01-31
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Sławomir Turek
Prowadzący grup: Sławomir Turek
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzaminacyjny
E-Learning:

E-Learning (pełny kurs) z podziałem na grupy

Typ przedmiotu:

obowiązkowy

Grupa przedmiotów ogólnouczenianych:

nie dotyczy

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego w Warszawie.