Geometry and Linear Algebra

Celem przedmiotu jest przekazanie studentom wiedzy i umiejętności z zakresu geometrycznych aspektów algebry liniowej. Przedmiot ten jest rozwinięciem materiału wykładanego w ramach przedmiotu ,Algebra linowa'' Zasadniczym pojęciem poszerzającym ww. materiał jest iloczyn skalarny, który pozwala rozwinąć pojęcia algebry liniowej o takie naturalne kwestie jak ortogonalność wektorów, długość wektora, a także specjalizować pewne odwzorowania liniowe jak na przykład izometrie liniowe. Studenci zapoznają się w trakcie zajęć m.in. z metodą ortogonalizacji układów wektorów, poznają interpretację wyznacznika Grama, metodę diagonalizacji macierzy symetrycznych, a także nabędą umiejętności w identyfikowaniu typu izometrii liniowej opisanej macierzą ortogonalną. Z kolei studenci zapoznają się z pojęciem przestrzeni afinicznej i odwzorowań między nimi. Ostatnia część omawianego przedmiotu poświęcona będzie formom kwadratowym.

Wykład:

Student

W02 - formułuje podstawowe twierdzenia geometrii z algebrą liniową i tłumaczy ich dowody

W04 - posługuje się definicjami i używa podstawowych twierdzeń geometrii i algebry liniowej

Ćwiczenia:

Student

U01 - potrafi w sposób zrozumiały formułować definicje i twierdzenia zawiązane z liniowymi przestrzeniami euklidesowymi, przestrzeniami afinicznymi i z formami kwadratowymi;

U16 - potrafi przeprowadzić ortogonalizację układu wektorów, umie znaleźć rzut ortogonalny wektora na podprzestrzeń, rozłożyć przestrzeń na sumę ortogonalną, znaleźć iloczyn wektorowy w przestrzeni euklidesowej;

U17 - potrafi sprowadzić formę kwadratową nad dowolnym ciałem do postaci kanonicznej stosując algorytm Lagrange'a, bądź wykorzystując metodę Jacobiego;

U18 - potrafi wykorzystać pojęcie wyznacznika Grama do obliczenia objętości równoległościanu i do obliczenia odległości wektora od podprzestrzeni, umie rozstrzygnąć czy forma kwadratowa jest dodatnio (ujemnie) określona;

U19 - umie sprawdzić liniową niezależność układu punktów w przestrzeni afinicznej i znaleźć współrzędne barycentryczne, potrafi sprowadzić postać ogólną podprzestrzeni afinicznej do postaci krawędziowej wyznaczyć równania podprzestrzeni afinicznych, znajdować przekształcenia afiniczne o zadanych warunkach;

U20,U21 - potrafi sprowadzić macierz symetryczną do postaci diagonalnej, posiada umiejętność sprowadzenia macierzy ortogonalnej do macierzy obrotów i symetrii ortogonalnych, potrafi wyznaczyć postać kanoniczną hiperpowierzchni stopnia 2.

Dla wszystkich efektów przyjmuje się następujące kryteria oceny we wszystkich formach weryfikacji:

ocena 5: osiągnięty w pełni (bez uchwytnych niedociągnięć)

ocena 4,5: osiągnięty niemal w pełni i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny

ocena 4: osiągnięty w znacznym stopniu i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny

ocena 3,5: osiągnięty w znacznym stopniu

z wyraźną przewagą pozytywów i nie są spełnione kryteria

przyznania wyższej oceny

ocena 3: osiągnięty dla większości przypadków objętych weryfikacją i nie są spełnione kryteria przyznania

wyższej oceny

ocena 2: nie został osiągnięty dla większości przypadków objętych weryfikacją