Cardinal Stefan Wyszynski University in Warsaw - Central Authentication System
Strona główna

Topology

General data

Course ID: WM-MA-TP
Erasmus code / ISCED: (unknown) / (unknown)
Course title: Topology
Name in Polish: Topologia
Organizational unit: Faculty of Mathematics and Natural Sciences. School of Exact Sciences.
Course groups: (in Polish) MATEMATYKA I stopnia - rozkład zajęć: III rok
ECTS credit allocation (and other scores): 5.00 Basic information on ECTS credits allocation principles:
  • the annual hourly workload of the student’s work required to achieve the expected learning outcomes for a given stage is 1500-1800h, corresponding to 60 ECTS;
  • the student’s weekly hourly workload is 45 h;
  • 1 ECTS point corresponds to 25-30 hours of student work needed to achieve the assumed learning outcomes;
  • weekly student workload necessary to achieve the assumed learning outcomes allows to obtain 1.5 ECTS;
  • work required to pass the course, which has been assigned 3 ECTS, constitutes 10% of the semester student load.
view allocation of credits
Language: Polish
(in Polish) Dyscyplina naukowa, do której odnoszą się efekty uczenia się:

mathematics
Subject level:

intermediate
Learning outcome code/codes:

(in Polish) MA2_W01, MA2_W02, MA2_W03

MA2_U01, MA2_U03, MA2_U04, MA2_U08; MA2_K02
Preliminary Requirements:

(in Polish) Analiza I, Logika i teoria mnogości, Wprowadzenie do topologii i jej zastosowań.
Full description:

Metric space.

Metric space, metric, ball, open and closed sets, topology, interior and closure of a set, dense and co-dense sets, bounded sets, limits of sequences. Base for a topological space, equivalent metrics.

Operations on metric spaces.

Subspaces, Cartesian products.

Continuous mappings.

Definition of a continuous mapping, equivalent conditions. Homeomorphisms. Notion of a topological property.

Totally bounded spaces and complete spaces.

Definition of a totally bonded metric space and of a complete metric space, Cantor theorem and Baire theorem. Banach fixed-point theorem.

Compact spaces.

Definition of a compact space, convergence in compact metric spaces, subspaces and Cartesian products of compact spaces, images of compact spaces under continuous mappings.

Connected spaces.

Definition of a connected space. Cartesian products of connected spaces. Images of connected spaces under continuous mappings.

Cardinal functions.

Separable, second-countable and Lindelof metric spaces.
Efekty kształcenia i opis ECTS: (in Polish)

Wykład:

MA2_W01Posiada pogłębioną wiedzę z topologii.

MA2_W02 Rozumie znaczenie rozumowania i konstrukcji przykładów w topologii.

MA2_W03 Zna najważniejsze twierdzenia z topologii ogólnej, w szczególności Twierdzenie Baire'a, Lemat Urysohna, Twierdzenie Tietzego-Urysohna, Twierdzenie Tichonowa.

Zna najważniejsze przykłady przestrzeni topologicznych i ich własności.

Ćwiczenia:

MA2_U01Potrafi dowodzić proste twierdzenia i konstruować przykłady przestrzeni topologicznych świadczące o istotności założeń oraz o nieprawdziwości hipotez.

MA2_U03 Potrafi sprawdzić poprawność dowodu.

MA2_U04 Rozumie znaczenie własności struktur formalnych w topologii.

MA2_U08 Posiada umiejętności rozpoznawania struktur topologicznych w obiektach matematycznych występujących np. w geometrii lub analizie matematycznej; potrafi wykorzystać podstawowe własności topologiczne zbiorów, funkcji i przekształceń ciągłych.

MA2_K02Jest gotów i potrafi formułować pytania, służące pogłębieniu własnego zrozumienia danego tematu lub odnalezieniu brakujących elementów rozumowania.
Assessment methods and assessment criteria: (in Polish)

Dla wszystkich efektów przyjmuje się następujące kryteria oceny we wszystkich formach weryfikacji:

ocena 5: osiągnięty w pełni (bez uchwytnych niedociągnięć)

ocena 4,5: osiągnięty niemal w pełni i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny

ocena 4: osiągnięty w znacznym stopniu i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny

ocena 3,5: osiągnięty w znacznym stopniu – z wyraźną przewagą pozytywów – i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny

ocena 3: osiągnięty dla większości przypadków objętych weryfikacją i nie są spełnione kryteria przyznania wyższej oceny

ocena 2: nie został osiągnięty dla większości przypadków objętych weryfikacją

Classes in period "Winter semester 2022/23" (past)

Time span: 2022-10-01 - 2023-01-31
Selected timetable range:
Navigate to timetable
Type of class:
Classes, 30 hours more information
Lectures, 30 hours more information
Coordinators: Lidia Waśko
Group instructors: Lidia Waśko
Students list: (inaccessible to you)
Examination: examination
(in Polish) E-Learning:

(in Polish) E-Learning (pełny kurs) z podziałem na grupy
(in Polish) Opis nakładu pracy studenta w ECTS:

(in Polish) wykład:

uczestnictwo w zajęciach 30h,

egzamin 2h,

przygotowanie do egzaminu 8h,

przygotowanie do zajęć 10h,

Razem 50 godz co daje 2 punkty ECTS

ćwiczenia:

uczestnictwo w zajęciach 30h, ,

przygotowanie do zajęć 25h,

prace domowe 20h.

Razem 75 godz co daje 3 punkty ECTS
Short description: (in Polish)

W wyniku zaliczenia przedmiotu student powinien umieć:

Sprawdzić ciągłość przekształcenia, sprawdzić czy dana własność jest własnością topologiczną i czy dane przestrzenie są homeomorficzne. Udowodnić jakie własności zachowują się przy przekształceniach ciągłych.

Dowodzić twierdzeń egzystencjalnych korzystając z twierdzenia Baire’a i z twierdzenia Banacha.

Udowodnić, że dana przestrzeń topologiczna jest (bądź nie jest) zwarta.

Sprawdzić, czy dana przestrzeń topologiczna jest spójna.

Sprawdzić, czy dana przestrzeń metryczna jest zupełna.

Określić gęstość, charakter i ciężar przestrzeni.

Sprawdzić jakie aksjomaty oddzielania spełnia dana przestrzeń.

Udowodnić podstawowe twierdzenia, jak np. Lemat Urysohna, Twierdzenie Tietzego-Urysohna.
Full description: (in Polish)

Treści merytoryczne:

1. Przestrzeń metryczna, metryka, kula, zbiór otwarty, domknięty, topologia, wnętrze domknięcie zbioru, zbiory gęste i brzegowe, zbiory ograniczone, granica ciągu. Baza przestrzeni topologicznej, metryki równoważne.

2. Operacje na przestrzeniach metrycznych. Podprzestrzeń, iloczyn kartezjański.

3. Przestrzeń metryczna całkowicie ograniczona i przestrzeń metryczna zupełna, twierdzenie Cantora i twierdzenie Baire’a. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym.

4. Zastosowanie twierdzeń Banacha i Baire'a.

5. Przestrzeń topologiczna. Aksjomaty oddzielania T1, T2, T3, T4, przykłady.

6. Dalsze przykłady przestrzeni topologicznych. Własności.

7. Przekształcenia ciągłe. Definicja przekształcenia ciągłego, warunki równoważne. Homeomorfizmy. Pojęcie własności topologicznej.

8. Niezmienniki przekształceń ciągłych.

9. Lemat Urysohna, Twierdzenie Tietzego-Urysohna.

10. Gęstość, charakter i ciężar przestrzeni.

11. Zwartość. Przykłady.

12. Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych. Uzwarcenie.

13. Continua.

14. Własności multiplikatywne.

15..Metryzowalność przestrzeni.
Bibliography: (in Polish)

Literatura podstawowa:

1. R. Engelking, K.Sieklucki, Geometria i topologia, część II Topologia, PWN, Warszawa 1980.

2. R. Engelking, Topologia ogólna, Warszawa 1976.

B. Węglorz, Topologia, Warszawa 2017.

Literatura uzupełniająca:

1. K. Sieklucki, Geometria i topologia, część I Geometria, PWN, 1980.

2. W. Kulpa, Topologia a ekonomia,

Wydawnictwo UKSW, Warszawa 2009.

3. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii,

PWN, Warszawa 1972.

Classes in period "Winter semester 2023/24" (past)

Time span: 2023-10-01 - 2024-01-31
Selected timetable range:
Navigate to timetable
Type of class:
Classes, 30 hours more information
Lectures, 30 hours more information
Coordinators: Lidia Waśko
Group instructors: Lidia Waśko
Students list: (inaccessible to you)
Examination: examination
(in Polish) E-Learning:

(in Polish) E-Learning (pełny kurs) z podziałem na grupy
(in Polish) Opis nakładu pracy studenta w ECTS:

(in Polish) wykład:

uczestnictwo w zajęciach 30h,

egzamin 2h,

przygotowanie do egzaminu 8h,

przygotowanie do zajęć 10h,

Razem 50 godz co daje 2 punkty ECTS

ćwiczenia:

uczestnictwo w zajęciach 30h, ,

przygotowanie do zajęć 25h,

prace domowe 20h.

Razem 75 godz co daje 3 punkty ECTS
Type of subject:

obligatory
(in Polish) Grupa przedmiotów ogólnouczenianych:

(in Polish) nie dotyczy
Short description: (in Polish)

W wyniku zaliczenia przedmiotu student powinien umieć:

Sprawdzić ciągłość przekształcenia, sprawdzić czy dana własność jest własnością topologiczną i czy dane przestrzenie są homeomorficzne. Udowodnić jakie własności zachowują się przy przekształceniach ciągłych.

Dowodzić twierdzeń egzystencjalnych korzystając z twierdzenia Baire’a i z twierdzenia Banacha.

Udowodnić, że dana przestrzeń topologiczna jest (bądź nie jest) zwarta.

Sprawdzić, czy dana przestrzeń topologiczna jest spójna.

Sprawdzić, czy dana przestrzeń metryczna jest zupełna.

Określić gęstość, charakter i ciężar przestrzeni.

Sprawdzić jakie aksjomaty oddzielania spełnia dana przestrzeń.

Udowodnić podstawowe twierdzenia, jak np. Lemat Urysohna, Twierdzenie Tietzego-Urysohna.
Full description: (in Polish)

Treści merytoryczne:

1. Przestrzeń metryczna, metryka, kula, zbiór otwarty, domknięty, topologia, wnętrze domknięcie zbioru, zbiory gęste i brzegowe, zbiory ograniczone, granica ciągu. Baza przestrzeni topologicznej, metryki równoważne.

2. Operacje na przestrzeniach metrycznych. Podprzestrzeń, iloczyn kartezjański.

3. Przestrzeń metryczna całkowicie ograniczona i przestrzeń metryczna zupełna, twierdzenie Cantora i twierdzenie Baire’a. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym.

4. Zastosowanie twierdzeń Banacha i Baire'a.

5. Przestrzeń topologiczna. Aksjomaty oddzielania T1, T2, T3, T4, przykłady.

6. Dalsze przykłady przestrzeni topologicznych. Własności.

7. Przekształcenia ciągłe. Definicja przekształcenia ciągłego, warunki równoważne. Homeomorfizmy. Pojęcie własności topologicznej.

8. Niezmienniki przekształceń ciągłych.

9. Lemat Urysohna, Twierdzenie Tietzego-Urysohna.

10. Gęstość, charakter i ciężar przestrzeni.

11. Zwartość. Przykłady.

12. Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych. Uzwarcenie.

13. Continua.

14. Własności multiplikatywne.

15..Metryzowalność przestrzeni.
Bibliography: (in Polish)

Literatura podstawowa:

1. R. Engelking, K.Sieklucki, Geometria i topologia, część II Topologia, PWN, Warszawa 1980.

2. R. Engelking, Topologia ogólna, Warszawa 1976.

B. Węglorz, Topologia, Warszawa 2017.

Literatura uzupełniająca:

1. K. Sieklucki, Geometria i topologia, część I Geometria, PWN, 1980.

2. W. Kulpa, Topologia a ekonomia,

Wydawnictwo UKSW, Warszawa 2009.

3. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii,

PWN, Warszawa 1972.
Course descriptions are protected by copyright.
Copyright by Cardinal Stefan Wyszynski University in Warsaw.
ul. Dewajtis 5,
01-815 Warszawa tel: +48 22 561 88 00 https://uksw.edu.pl contact accessibility statement mapa serwisu USOSweb 7.0.4.0-1 (2024-05-13)