Analiza matematyczna II WM-MA-AM2
Wykład (WYK) Semestr letni 2024/25

Literatura obowiązkowa:

1. P. Strzelecki, "Analiza matematyczna I (skrypt wykładu)", Wydział MIiM UW, 14 grudnia 2018.

2. K. Kuratowski, "Rachunek rózniczkowy i całkowy", PWN, Warszawa 2022.

3. F. Leja, "Rachunek różniczkowy i całkowy'', PWN, Warszawa 2022

Literatura uzupełniająca:

4. W. Rudin, "Podstawy analizy matematycznej", PWN, Warszawa 2022.

5. G. M. Fichtenholz, "Rachunek różniczkowy i całkowy", t. I, II, PWN, Warszawa 2022.

6. K. Maurin, Analiza. Część I, PWN, Warszawa 2022.

7. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2022.

8. R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2022.

WYKŁAD:

MA1_W01, MA1_W02, MA1_W04, MA1_W07

Ćwiczenia : 2 kolokwia po 20 pkt. Warunek zaliczenia 50 %.

Egzamin : część zadaniowa 40 pkt : warunek zaliczenia 40%

Część teoretyczna 20 pkt . warunek zaliczenia 40 %.

Ocena z przedmiotu z łącznej liczby punktów :

zaliczenie przedmiotu : 50 punktów.

Oceny 50 pkt dost

60 pkt. dost plus

70 pkt. dobry

80 pkt dobry plus

90 pkt. bardzo dobry

Tematyka wykładów:

• 1. Własności liczby e.

• 2. Ciągi i szeregi funkcyjne: zbieżność punktowa i jednostajna, warunek Cau-chy'ego.

• 3. Kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów fukcyjnych, wielomiany Bern-steina i twierdzenie Weierstrassa o jednostajnym przybliżaniu funkcji ciągłych wielomianami.

• 4. Twierdzenie o różniczkowaniu ciągów i szeregów funkcyjnych, konstrukcja funkcji ciągłej nigdzie nieróżniczkowalnej.

• 5. Twierdzenie Arzeli-Ascoli.

• 6. Szeregi potęgowe: wzór Cauchy-Hadamarda, promień i przedział zbieżności.

• 7. Różniczkowanie szeregów potęgowych, jednoznaczność rozwinięcia w sze-reg potęgowy, funkcje analityczne

• 8. Twierdzenie Abela o ciągłości na krańcach przedziału zbieżności, rozwijanie funkcji w szereg potęgowy.

• 9. Funkcja pierwotna, twierdzenie mówiące, że każda funkcj ciągła ma funkcję pierwotną. Całka nieoznaczona: podstawowe wzory i własności, całkowanie przez części i przez podstawienie.

• 10. Całkowanie funkcji wymiernych i trygonometrycznych.

• 11. Funkcje hiperboliczne i funkcje area i ich zastosowanie do liczenia całek z funkcji niewymiernych.

• 12. Całkowanie funkcji niewymiernych za pomocą współczynników nieozna-czonych oraz za pomocą podstawień Eulera.

• 13. Całka oznaczona (Newtona): podstawowe wzory i własności, twierdzenie o przejściu granicznym pod znakiem całki.

• 14. Przybliżanie całki oznaczonej sumami całkowymi i interpretacja geome-tryczna całki oznaczonej.

• 15. Wzór Wallisa i wzór Stirlinga, wzór Taylora z resztą całkową.

• 16. Twierdzenia o wartości średniej dla całek i ich zastosowania.

• 17. Całka Riemanna: konstrukcja całki Riemanna, całka dolna i górna, funkcje całkowalne w sensie Riemanna i ich charakteryzacja, równość z całką oznaczo-ną dla funkcji ciągłych.

• 18. Zastosowanie geometryczne całek: obliczanie długości krzywych.

• 19. Obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych.

• 20. Całki niewłaściwe na przedziale nieskończonym: warunek Cauchy'ego, zbieżność bezwzględna i warunkowa.

• 21. Zbieżność warunkowa całki Dirichleta, związek zbieżności całki niewłaści-wej ze zbieżnością odpowiednich szeregów liczbowych.

• 22. Kryterium porównawcze i kryterium Abela-Dirichleta dla całek niewłaści-wych na przedziale nieskończonym.

• 23. Całki niewłaściwe na przedziale skończonym: warunek Cauchy'ego, kryte-rium porównawcze.

• 24. Funkcja gamma Eulera i jej własności, logarytmiczna wypukłość, nierów-ność Younga i nierówność Holdera, twierdzenie Bohra

• 25. Wzór Gaussa, funkcja beta Eulera i jej własności.

• 26. Wzór iloczynowy Weierstrassa, wzór Legendre'a, związek funkcji gamma z funkcją sinus.

• 27. Rozwinięcie cotangensa w szereg ułamków prostych, liczby Bernoulliego i wartości funkcji dzeta Riemanna dla liczb parzystych.

• 28. Rzeczywiste i zespolone szeregi Fouriera, lemat Riemanna-Lebesgue'a.

• 29. Kryterium Diniego zbieżności szeregów Fouriera.

• 30. Zbieżność szeregów Fouriera w L^2.

wykład